Подразделы

Другие разделы

Дата и время

07/01/2026 12:50:37

Авторизация

Численные алгоритмы

Вычислительная математика Классификация ошибок вычислений Алгоритмы численного интегрирования Алгоритмы для решения нелинейных уравнений Алгоритмы для поиска экстремума

Алгоритмы численного интегрирования

Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции.
Приближённо эту площадь можно вычислить суммированием площадей конечного числа прямоугольников,
ширина которых равна `h=(b-a)/n`, а высота — значением подынтегральной функции
`f` в точке `x_i=a+i*h` ("левые" прямоугольники) или `x_i=a+(i+1)*h` ("правые" прямоугольники) или `x_i=a+(i+0.5)*h` ("средние" прямоугольники).

`int_a^b f(x) dx ~~ h sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)`

![width:300px|Интеграл](51109.jpg)

--

Ошибка усечения не превышает
для левых и правых прямоугольников `(max_{t in [a,b]} |f'(t)|*(b-a)^2)/(2*n)`
для средних прямоугольников `(max_{t in [a,b]} |f''(t)|*(b-a)^3)/(24*n^2)`.

Алгоритм Integral(`f,a,b,n`)
// Входные данные: функция `f`, границы отрезка `a<b`, количество разбиений `n`
// Выходные данные: приближенное значение интеграла на отрезке `[a,b]`
`s larr 0; h larr (b-a)//n`
**for** `i in [0...n-1]` **do**
`quad s larr s + f(a+(i+0.5)*h)`
**return** `s*h`

--

Вместо прямоугольников можно использовать трапеции:

`int_a^b f(x) dx ~~ h [(f(a)+f(b))/2 + sum_{i=1}^{n-1} f(a+i*h)]`

![width:300px|Интеграл](51110.png)

Ошибка усечения не превышает
`(max_{t in [a,b]} |f''(t)|*(b-a)^3)/(12*n^2)`.

---

##### Задания для практики

1. Воспользуйтесь формулой средних прямоугольников при `n = 4` для приближенного вычисления указанного ниже определенного интеграла. Найдите ошибку усечения для каждого интервала, сравнивая с точным значением, вычисляемым по формуле.\
`int_0^2 x^2 dx`

Назад

Подразделы

Другие разделы

Дата и время

Авторизация

Численные алгоритмы

Алгоритмы численного интегрирования